Funkcja kwadratowa bez wkuwania wzorów

Wzór na współrzędne wierzchołka wygląda jak coś, co po prostu trzeba mieć w głowie. W rzeczywistości jest zapisem jednego przekształcenia, które możesz przeprowadzić sam. Kiedy raz je zobaczysz, wzorów nie musisz pamiętać, bo odtworzysz je w kilka linijek.

Zacznij od nawiasu podniesionego do kwadratu

Wyrażenie (x − 3)² ma jedną wygodną cechę: kwadrat nigdy nie jest ujemny, więc swoją najmniejszą wartość, czyli zero, przyjmuje dokładnie wtedy, gdy x = 3. Cała sztuka z funkcją kwadratową polega na tym, żeby doprowadzić ją do takiej postaci — nazywa się ona kanoniczną.

Po wymnożeniu (x − 3)² = x² − 6x + 9. Działa to też w drugą stronę: jeśli widzisz x² − 6x, brakuje Ci tylko 9, żeby zamknąć całość w nawias. Gdy przy x² stoi 1, szukana liczba to zawsze połowa współczynnika przy x, podniesiona do kwadratu.

Uzupełnij do kwadratu na jednym przykładzie

Weź f(x) = 2x² − 12x + 10 i zrób cztery kroki:

• wyłącz 2 przed nawias: f(x) = 2(x² − 6x) + 10,
• domknij nawias — połowa współczynnika przy x to −3, a (−3)² = 9, więc x² − 6x = (x − 3)² − 9,
• wstaw to z powrotem: f(x) = 2((x − 3)² − 9) + 10,
• wymnóż: f(x) = 2(x − 3)² − 18 + 10, czyli f(x) = 2(x − 3)² − 8.

Wierzchołek odczytaj z postaci kanonicznej

W zapisie 2(x − 3)² − 8 składnik 2(x − 3)² jest zerowy tylko dla x = 3, a dla każdego innego x wychodzi dodatni. Najmniejszą wartością funkcji jest więc −8 i przyjmuje ją dla x = 3. Wierzchołek leży w punkcie (3, −8).

Sprawdzenie jest krótkie: f(3) = 2 · 9 − 12 · 3 + 10 = 18 − 36 + 10 = −8.

Miejsca zerowe bez sięgania po deltę

Szukasz takich x, dla których f(x) = 0, więc rozwiązujesz 2(x − 3)² − 8 = 0. Po przeniesieniu ósemki i podzieleniu obu stron przez 2 zostaje (x − 3)² = 4. Kwadrat jest równy 4 wtedy, gdy x − 3 wynosi 2 albo −2, stąd x = 5 lub x = 1.

Teraz podstaw obie liczby do wyjściowego wzoru: f(1) = 2 − 12 + 10 = 0 oraz f(5) = 50 − 60 + 10 = 0. Obie rzeczywiście zerują funkcję, więc rachunek się zgadza. Tego kroku nie pomijaj — wyłapuje większość pomyłek w znakach.

Te same kroki z literami dają znane wzory

Powtórz całą procedurę dla ax² + bx + c, gdzie a jest różne od zera. Wyłączasz a i dostajesz a(x² + (b/a)x) + c. Domykasz nawias połową współczynnika przy x, czyli b/(2a), więc x² + (b/a)x = (x + b/(2a))² − b²/(4a²). Po wymnożeniu przez a i uporządkowaniu zostaje a(x + b/(2a))² − (b² − 4ac)/(4a).

Nawias zeruje się dla x = −b/(2a) i to jest pierwsza współrzędna wierzchołka. Wyrażenie b² − 4ac to wyróżnik, czyli delta, a druga współrzędna wynosi −Δ/(4a). Wróć do przykładu: Δ = (−12)² − 4 · 2 · 10 = 144 − 80 = 64, dalej −b/(2a) = 12/4 = 3, a −Δ/(4a) = −64/8 = −8 — dokładnie to, co wyszło z przekształcenia.

Co z tego zapamiętać

• Kwadrat nigdy nie jest ujemny i na tym opiera się cały wzór na wierzchołek.
• Żeby domknąć x² + bx, dopisujesz kwadrat połowy współczynnika przy x.
• Z postaci kanonicznej wierzchołek i miejsca zerowe odczytujesz wprost.
• Każdy wynik sprawdzaj podstawieniem do wyjściowego wzoru.
• Wyprowadzenie przerób na kartce kilka razy w odstępie paru dni — o samych powtórkach jest osobny tekst na blogu.